Kuinka usein viiden kortin pöytä mahdollistaa suoran

Keskustelupalstalla kysyttiin jokin aika sitten kuinka todennäköistä on, että Texas Hold’emissa on riverin jälkeen pöytä, joka ei mahdollista minkäänlaista suoraa. Tämä on laskutehtävänä melko mielenkiintoinen ja havainnollistaa hyvin aika monia pokeritodennäköisyyksien laskemisessa tarvittavia konsepteja, joten päätin kirjoittaa aiheesta erillisen artikkelin.

Artikkelissa laskeminen esitellään melko lailla “for dummies”, eli lukijalta ei edellytetä peruskoulumatematiikkaa kummallisempia esitietoja. Ne jotka ovat todennäköisyyslaskentaan jonkun verran perehtyneet huomaavat varmasti, että monessa kohtaa voi hieman oikaista.

Aloitetaan ensin pohtimalla minkälainen viiden kortin pöytä voi olla. Koska pohdimme ainoastaan suorien muodostumista, jätetään värit kokonaan huomiotta, ja keskitytään vain korttien arvoihin. Pakassa on 13 eri arvoista korttia, 4 kutakin. Koska suoran muodostumisessa meitä kiinnostaa kuinka montaa eri arvoa pöydässä on, jaotellaan erilaiset viiden kortin yhdistelmät sen mukaan kuinka monta eri arvoista korttia yhdistelmässä on. Näin jaoteltuna viiden kortin pöytä voi muodostua:

  • viidestä eri arvoisesta kortista (esim. A, 3, 7, 9 ja Q)
  • neljästä eri arvoisesta kortista ja yhdestä kortista, joka on saman arvoinen jonkun muun kortin kanssa – eli pari (esim. A, 3, 7, 7 ja 9)
  • kolmesta eri arvoisesta kortista, joko siten että pöydässä on kaksi paria (esim. A, 3, 3, 7 ja 7) tai siten, että pöydässä on kolmoset (esim. A, 3, 7, 7 ja 7)
  • kahdesta eri arvoisesta kortista, joko siten että pöydässä on täyskäsi (esim. 3, 3, 7, 7 ja 7) tai siten, että pöydässä on neloset (esim. 3, 7, 7, 7 ja 7)

Koska kutakin korttia on pakassa vain neljä kappaletta, ei viiden kortin yhdistelmä voi muodostua pelkästään saman arvoisista korteista.

Seuraava tehtävä on analysoida, kuin monta erilaista viiden, neljän, kolmen ja kahden eri arvoisen kortin yhdistelmää yleensä on olemassa. Tässä tulee avuksi todennäköisyyslaskennassa usein esiintyvä kombinaation käsite. Sen sijaan että käyttäisin suoraan kombinaation kaavaa, kerron miten se muodostuu.

Ajatellaan yksinkertaisinta tapausta, eli kuinka monta kahden eri arvoisen kortin yhdistelmää on olemassa. Koska maat eivät kiinnosta meitä, ajatellaan pakkaa, jossa on vain patoja, eli kolmentoista kortin pakka. Oletetaan, että otamme pakasta satunnaisen kortin. Koska pakassamme on 13 korttia, on vaihtoehtoja ensimmäiseksi kortiksi 13 kappaletta. Sitten otamme toisen kortin, mutta nyt pakassa on jäljellä enää 12 korttia, joten vaihtoehtoja on enää 12. Näin ollen voimme ottaa kaksi eri arvoista korttiaeri tavalla. Koska kuitenkin samat kaksi korttia voivat tulla kahdessa eri järjestyksessä (esim. A3 ja 3A muodostavat saman yhdistelmän), joudumme jakamaan vielä kahdella:

(Toinen tapa ajatella asiaa on miettiä valmiiksi järjestettejyjä yhdistelmiä: A2, A3,…AK, 23, 24,…2K, 34, 35,…3K,…JQ, JK, QK. Huomataan että ässän kaverina voi olla 12 eri korttia, kakkosen kaverina 11 korttia, kolmosen kaverina kymmenen jne: 12+11+10+…+2+1 = 78.) Jos järjestyksellä olisi väliä, puhuttaisiin permutaatiosta eikä kombinaatiosta.

Seuraavaksi jos ajatellaan kolmen eri arvoisen kortin yhdistelmiä havaitaan, että ensimmäiseksi kortiksi voidaan ottaa 13 vaihtoehtoa, toiseksi 12 ja kolmanneksi 11, yhteensä siis .

Samat kolme korttia voivat tulla kuitenkin eri järjestyksessä (ajatellaan, että meillä on A23: jos laitamme nämä satunnaiseen järjestykseen, niin ensimmänen kortti voi olla mikä tahansa näistä kolmesta, toinen kortti mikä tahansa kahdesta jäljellä olevasta ja viimeisen on pakko olla se mikä jäi jäljelle; järjestyksiä on siis erilaista: A23, A32, 2A3, 23A, 3A2, 32A). Erilaisia yhdistelmiä ei siis ole vaan

Seuraavaksi huomataan, että voidaan esittää muodossa ja vastaavasti muodossa

(Oletan, että kertoma, eli on kaikille tuttu, jos ei ole niin , esim. . koska jälkimmäinen lavenee muotoon: ja supistuu pois, jolloin jäljelle jää vain ).

Lopuksi todetaan, että ja . Näin olemme tulleet johtaneeksi kombinaation kaavan:

Jos meillä on x eri vaihtoehtoa, ja valitsemme niistä y, on erilaisia kombinaatioita

(vastaavasti permutaatioita, eli yhdistelmiä, joissa järjestykselläkin on väliä, on edellisessä tilanteessa, eli erilaista. Yleisessä muodossa kaava on )

Näin ollen:

5 eri arvoisen kortin yhdistelmiä onkappaletta,

4 eri arvoisen kortin yhdistelmiä onkappaletta,

3 eri arvoisen kortin yhdistelmiä on kappaletta ja

2 eri arvoisen kortin yhdistelmiä onkappaletta

(Lottoa harrastaville todettakoon, että esim. erilaisten lottorivien määrä saadaan samalla kaavalla: )

Seuraavaksi pitää ruveta miettimään kuinka moni erilaisista yhdistelmistä mahdollistaa suoran, ja kuinka moni ei mahdollista.

Jos pöydässä on vain kahta eri arvoista korttia, ei suora ole koskaan mahdollinen, koska suoraan tarvitaan viisi eri arvoista korttia, ja kaksi eri arvoista korttia pöydässä + enintään kaksi eri arvoista korttia kädessä on enintään neljä.

Jos pöydässä on kolmea eri arvoista korttia, on helpointa miettiä kuinka moni yhdistelmä mahdollistaa suoran. Jotta kolme korttia mahdollistaa suoran kahden käsikortin kanssa, pitää kaikkien kolmen kortin olla käytössä suorassa, ja näin ollen suurimman ja pienimmän kortin arvojen ero saa olla enintään neljä (eli jos ässä on pienin, niin suurin saa olla enintään vitonen jne). Tällöin mahdolliset yhdistelmät ovat:

  • kolme peräkkäistä (esim. A23)
  • kaksi peräkkäistä, aukko ja kortti. Aukko voi olla peräkkäisten ala- tai yläpuolella: esim: A34/A24
  • kaksi peräkkäistä, kahden kortin aukko ja kortti. Aukko voi olla peräkkäisten ala- tai yläpuolella: esim: A45/A25
  • kortti, aukko, kortti, aukko ja kortti, esim: A35

Näin ollen erilaisia vaihtoehtoja, kun pienin kortti on ässästä kymppiin, on kuusi jokaista pienintä korttia kohti, eli yhteensä . Kun pienin kortti on J, jää vaihtehdoiksi enää kaksi ensin mainittua eli kolme kappaletta, ja kun pienin kortti on Q, on enää ensimmäinen vaihtoehto mahdollinen. Kaikkiaan on siis kombinaatiota, jotka mahdollistavat suoran. Koska kolmen eri arvoisen kortin kombinaatioita on yhteensä 286, on kombinaatioita, jotka eivät mahdollista suoraakappaletta. Todennäköisyys jollekin tapahtumalle saadaan jakamalla suotuisten (eli niiden tapausten joissa tapahtuma tapahtuu) yhdistelmien määrä yhdistelmien kokonaismäärällä. Näin ollen todennäköisyys sille, että suora on mahdollinen, kun pöydässä on kolme eri arvoista korttia on:

Vastaavasti todennäköisyys sille, että suora ei ole mahdollinen, kun pöydässä on kolme eri arvoista korttia on:

Koska muita vaihtoehtoja ei ole on näiden todennäköisyyksien summa 1, aivan kuten pitääkin:

Jos pöydässä on neljää eri arvoista korttia, tulee laskeminen hieman hankalammaksi. Nyt on helpompi tarkastella neljän kortin yhdistelmiä, jotka eivät mahdollista suoraa. Koska ässä on hieman erikoistapaus, tarkastellaan ensin yhdistelmiä, joissa ei ole ässää. Huomataan, että pienemmän ja suurimman kortin väliin pitää jäädä vähintään viiden kortin aukko, jotta olisi ylipäätään mahdollista sijoittaa loput kaksi korttia tuohon aukkoon niin, että suora ei ole mahdollinen (esim. jos pienin ja suurin kortti ovat 2 ja 8, voidaan väliin sijoittaa vielä 3 ja 7 niin, että suora ei ole mahdollinen. Sen sijaan jos kortit ovat 2 ja 7, ei sijoittaminen ole mahdollista: paras yritys on 3 ja 6, mutta käsikortit 45 tekevät pöydän 2367 kanssa suoran). Lisäksi havaitaan, että viiden kortin aukkoon sopii vain yksi kahden keskimmäisen kortin yhdistelmä (28 esimerkissä 37), mutta kun aukkoa kasvatetaan tulee yhdistelmiäkin enemmän: 2 ja 9 väliin voidaan sijoittaa 37, 38, 47 ja 48; 2 ja T väliin 37, 38, 39, 47, 48, 49, 57, 58 ja 59 jne. Huomataan, että aukon koko x määrää väliin sijoittuvien kahden kortin yhdistelmien määrän seuraavasti:. Isoilla aukoilla tämä ei kuitenkaan aivan päde, koska esim. 2Q väliin sijoittuvat yhdistelmät tuolla tavalla laskettuna olisivat 37, 38,…, 3J, 47, 48, .., 4J,….77, 78, …, 7J, mutta 77 ei ole kahden eri kortin yhdistelmä. Näin ollen eri kokoisilla aukoilla väliin mahtuvia yhdistelmiä on:

Aukon koko Yhdistelmien määrä
5 1
6 4
7 9
8 16
9 24 (yksi mahdoton kombinaatio)
10 33 (kolme mahdotonta kombinaatiota)

Kymmenen on suurin mahdollinen aukon koko (2 ja K)

Lisäksi pitää tarkastella kuinka monta minkäkinkokoista aukkoa on mahdollista muodostaa. Kymmenen kortin aukkoja löytyy vain yksi: 2K, yhdeksän kortin aukkoja kaksi: 2Q ja 3K, kahdeksan kortin kolme: 2J, 3Q ja 4K jne. Näin ollen ässättömiä neljän eri arvoisen kortin yhdistelmiä, jotka eivät mahdollista suoraa on yhteensä:

kappaletta.

Seuraavaksi pitää miettiä kuinka monta ässän sisältävää neljän eri arvoisen kortin yhdistelmää, joka ei mahdollista suoraa, on olemassa. Tätä varten ajatellaan ensin keskimmäistä kolmesta muusta (ei-ässä) kortista. Ensinnäkin, jos tämä kortti on T tai suurempi, on suurin ei-ässä on silloin J, Q tai K ja suora kympistä (tai suuremmasta) ässään on mahdollinen. Toiseksi, jos tämä kortti on 5 tai pienempi, on pienin ei-ässä on silloin 2, 3 tai 4, ja suora ässästä vitoseen (tai pienempään) on mahdollinen. Keskimmäisen ei-ässän pitää siis olla 6, 7, 8 tai 9. Jos keskimmäinen ei-ässä on 6, voi pienin olla 2, 3, 4 tai 5. Näistä vaihtoehdoista kakkonen jättää suurimmalle ei-ässälle seitsemän vaihtoehtoa (seiskasta kuninkaaseen), kolmonen jättää kuusi vaihtoehtoa (seiska ei enää kelpaa, koska 367 mahdollistaa suoran), nelonen viisi ja vitonen neljä. Yhteensä siis . Vastaavasti jos keskimmäinen kortti on 7, voi pienin ei-ässä olla 2-6; kakkonen jättää suurimmalle kortille kuusi vaihtoehtoa, kolmonen samat kuusi (kahdeksikko kelpaa edelleen), mutta nelosesta alkaen vaihtoehdot vähenevät aina yhdellä: . Keskimmäisen ei-ässän ollessa kahdeksikko tulee summaksi samalla logiikalla ja yhdeksikön tapauksessa . joten jos neljän eri arvoisen kortin joukossa on ässä, on yhdistelmiä, jotka eivät mahdollista suoraa 92 kappaletta.

Kaiken kaikkiaan neljän eriarvoisen kortin yhdistelmiä, jotka eivät mahdollista suoraa on siis kappaletta. Koska neljän eri arvoisen kortin yhdistelmiä on kaikkiaan 715 kappaletta, jää suoran mahdollistavia yhdistelmiä . Todennäköisyys sille, että suora on mahdollinen, kun pöydässä on neljä eri arvoista korttia on siis:

ja vastaavasti todennäköisyys sille, että suora ei ole mahdollinen, kun pöydässä on neljä eri arvoista korttia on:

Viimeinen vaihtoehto on, että kaikki pöydän viisi korttia ovat eri arvoisia. Jälleen on helpompaa laskea niiden yhdistelmien määrä, jotka eivät mahdollista suoraa, ja tarkastella erikseen käsiä jotka eivät sisällä ässää ja erikseen ässällisiä käsiä.

Aloitamme tarkastelun ässättömistä käsistä. Yksi tapa lähestyä asiaa on miettiä toiseksi pienimmän ja toiseksi suurimman kortin etäisyyttä toisistaan: koska niiden väliin jää yksi kortti, pitää niiden arvojen erotuksen olla vähintään viisi (eli 5 ja T kelpaa, koska yhden kortin väliin lisäämällä ei suora vielä tule mahdolliseksi, mutta 5 ja 9 ei kelpaa, koska jos väliin lisätään 6, 7 tai 8, tulee suora mahdolliseksi). Lisäksi pienempi näistä kahdesta kortista ei voi olla kakkonen eikä suurempi kuningas, koska nämä olivat toiseksi pienin ja toiseksi suurin viidestä erisuuresta ässättömästä kortista. Mahdolliset yhdistelmät näille kahdelle kortille ovat siis: 38, 39, 3T, 3J, 3Q, 49, 4T, 4J, 4Q, 5T, 5J, 5Q, 6J, 6Q ja 7Q (15 kappaletta). Seuraavaksi pohdimme mikä kortti voi olla keskimmäinen, eli edellisten väliin jäävä kortti, ja huomaamme, että sen on pakko olla 7 tai 8: Jos se on pienempi kuin seiska, mahdollistavat pöydän kolme pienintä kortti aina suoran, ja jos se on suurempi kuin kahdeksikko, mahdollistavat pöydän kolme suurinta korttia aina suoran (muista, että olemme edelleen tekemisissä sellaisten yhdistelmien kanssa, joissa ei ole ässää). Lopuksi on helppo todeta, että jos yhdistelmän keskimmäinen kortti on seiska, on pienimmän oltava kakkonen ja suurin voi olla Q tai K, ja vastaavasti jos keskimmäinen on kasi, voi pienin olla kakkonen tai kolmonen, mutta suurimman on oltava K. Eli pienin, keskimmäinen ja suurin viidestä ovat aina joko 27Q, 27K, 28K tai 38K (4 kpl). Koska edellä luetelluista 15 kahden kortin yhdistelmästä vain kuusi ei sisällä mitään näistä korteista, ovat kaikki neljä mahdollisia vain näissä kuudessa tapauksessa, yhteensä siis kombinaatiota. Kolmosen tai rouvan, mutta ei molempia eikä myöskään seiskaa tai kasia sisältäviä yhdistelmiä on myös kuusi kappaletta. Näissä yhdistelmissä kolme neljästä pienimmän, keskimmäisen ja suurimman yhdistelmästä on mahdollisia (kolmosen tapauksessa kolme ensimmäistä, rouvan tapauksessa kolme viimeistä), eli kombinaatiota lisää. Lopuksi jäävät yhdistelmät 38, 3Q ja 7Q, joiden kunkin kanssa sopii yhteen vain kaksi neljästä kolmen kortin yhdistelmästä, eli kombinaatiota lisää. eli kaikkiaan viidestä eri kortista, joista yksikään ei ole ässä, muodostuvia yhdistelmiä, jotka eivät mahdollista suoraa, on yhteensä 48 kappaletta.

Selvyyden vuoksi sama taulukkona:

2. ja 4. pienin kortti Mahdolliset pienin/keskimmäinen/suurin
-yhdistelmät joilla ei suoraa
lkm
38 27Q, 27K 2
39 27Q, 27K, 28K 3
3T 27Q, 27K, 28K 3
3J 27Q, 27K, 28K 3
3Q 27K, 28K 2
49 27Q, 27K, 28K, 38K 4
4T 27Q, 27K, 28K, 38K 4
4J 27Q, 27K, 28K, 38K 4
4Q 27K, 28K, 38K 3
5T 27Q, 27K, 28K, 38K 4
5J 27Q, 27K, 28K, 38K 4
5Q 27K, 28K, 38K 3
6J 27Q, 27K, 28K, 38K 4
6Q 27K, 28K, 38K 3
7Q 28K, 38K 2

Tämän vaiheen lopuksi laskemme ässän sisältävät viiden kortin yhdistelmät, jota eivät mahdollista suoraa. Koska ässä voi olla suoran pienin tai suurin kortti, ajattelemme käsiä muodossa abAxy, jossa x < y < a < b (eli jos meillä olisi vaikka A369J, ajattelemme sitä muodossa 9JA36). Nyt on helppo havaita, että a saa olla enintään 9, koska muuten abA mahdollistaa suoran. Vastaavasti y pitää olla vähintään 6, koska muuten Axy mahdollistaa suoran. Lisäksi koska y < a, ovat mahdolliset a ja y -yhdistelmät 96, 97, 98, 86, 87 ja 76. Seuraavaksi havaitaan, että x ei voi olla vitonen eikä b kymppi, koska nämä molemmat yhdistettynä edellisiin yhdistelmiin mahdollistavat aina suoran. b on siis J, Q tai K, ja vastaavasti x on joko 2, 3 tai 4. Nämäkään eivät ole kaikki mahdollisia kaikissa tilanteissa – kun a on 7, voi x olla vain 2, kun a on 8, voi x olla 2 tai 3; vastaavasti kun y on 8, voi b olla vain K ja kun y on 7 voi b olla Q tai K. Havainnollistetaan taulukolla:

ay Mahdolliset b Mahdolliset x lkm
96 JQK 234 9
97 QK 234 6
98 K 234 3
86 JQK 23 6
87 QK 23 4
76 JQK 2 3

Ässän sisältäviä viiden eri kortin yhdistelmiä, jotka eivät mahdollista suoraa on siis kappaletta. Kaikkiaan viiden eriarvoisen kortin yhdistelmiä, jotka eivät mahdollista suoraa on siis kappaletta.

Koska viiden eri arvoisen kortin yhdistelmiä on kaikkiaan 1287 kappaletta, jää suoran mahdollistavia yhdistelmiä . Todennäköisyys sille, että suora on mahdollinen, kun pöydässä on viisi eri arvoista korttia on siis:

ja vastaavasti todennäköisyys sille, että suora ei ole mahdollinen, kun pöydässä on viisi eri arvoista korttia on:

Näin olemme laskeneet todennäköisyyden sille, että pöytä mahdollistaa tai ei mahdollista suoran eri tilanteissa. Jos haluamme kokonaistodennäköisyydet, meidän täytyy vielä laskea eri tilanteiden todennäköisyydet, kertoa ne em. todennäköisyyksillä ja laskea yhteen, sillä pöytä jossa on viisi eri korttia on huomattavan paljon todennäköisempi kuin pöytä, jossa on vain kaksi eri arvoista korttia. Tämä on helpointa tehdä laskemalla erilaisten pöytäpermutaatioiden määrät ja jakamalla ne pöytäpermutaatioiden kokonaismäärällä (yhtä hyvin voitaisiin käyttää kombinaatioita, mutta tässä tapauksessa permutaatioiden käyttäminen on yksinkertaisempaa, joka vaiheessa jää yksi jakolasku:lla pois).

Jos pöydässä on viisi eri arvoista korttia, voi ensimmäinen olla mikä tahansa pakan 52 kortista, toisen pitää olla arvoltaan joku muu, eli vaihtoehtoja on 48, kolmas jälleen joku muu, eli vaihtoehtoja on 44 jne. Yhteensä viiden eriarvoisen kortin permutaatioita on siis:

(en laske tuloa auki, koska kohta käytämme tätä jakolaskussa osoittajana, ja supistaminen on helpompaa, kun tulo on tekijöissään. Todennäköisyydet kannattaa yleensä laskea mahdollisimman pitkälle murtolukuina)

Neljän eri arvoisen kortin yhdistelmässä ensimmäinen kortti voi jälleen olla mikä tahansa, toinen voi olla sama kuin ensimmäinen ja sitten loput taas kaikki eri kortteja tai toinen voi olla eri kortti, sitten tulla sama kuin jompi kumpi ensimmäisistä ja loput eri arvoisia jne. Neljän eri arvoisen kortin permutaatioita on siis:

+++==

Kolmen eri arvoisen kortin yhdistelmiä on kaksi erilaista, joko kolmoset tai kaksi paria. Kolmosten tapauksessa permutaatioita on:

+++++==

Kahden parin permutaatioita taas on:

++++= =

Yhteensä kolmen eriarvoisen kortin permutaatioita on siis:

Kahden eriarvoisen kortin yhdistelmiä on myös kaksi erilaista, neloset ja täyskäsi. Nelosten tapauksessa permutaatioita on:

+++==

Täyskäden tuottavia permutaatioita taas on:

++++==

Yhteensä siis kahden eriarvoisen kortin permutaatioita on:

Kaikkiaan viiden kortin permutaatioita on:

eli

Viiden eri arvoisen kortin pöydän todennäköisyys on siis:

Neljän eriarvoisen kortin pöydän todennäköisyys on:

Kolmen eriarvoisen kortin pöydän todennäköisyys on:

Kahden eriarvoisen kortin pöydän todennäköisyys on:

Tässä vaiheessa voidaan helposti tarkistaa laskut: em. todennäköisyyksien summan tulee olla 1:

=

Kaikki hyvin siis.

Lopuksi lasketaan todennäköisyys sille, että satunnainen viiden kortin pöytä ei mahdollista suoraa:

Huomattavaa on, että erityisesti analyysi siitä, kuinka monta suoran mahdollistavaa tai ei-mahdollistavaa kombinaatiota missäkin tilanteessa on olemassa, voidaan tehdä hyvin monella eri tavalla. Eräs vaihtoehtoinen tapa löytyy Brian Alspachin artikkelista: http://www.math.sfu.ca/~alspach/comp39/

Hauturi